Credo abbiate un problema di cookies condivisi. Non c'è molto da fare se usate strumenti informatici condivisi: sono concepiti per essere individuali. L'unica cosa che mi viene in mente di suggerirvi è, se usate windows, di creare due account personali indipententi su windows: questo dovrebbe tenere separati anche i rispettivi cookies.
In ogni caso è sempre possibile effettuare un log-out e poi accedere con delle credenziali differenti.